Абрам Давидович родился в 1916 году в местечке Юзефполь Подольской губернии (ныне относится к Одесской области) в небогатой еврейской семье, где кроме него было еще три брата и две сестры. В 1919 году во время одного из часто случавшихся тогда на юге Украины петлюровских погромов погиб отец, и семья осталась на иждивении матери.
В 1924-м Абрам Давидович поступил в семилетнюю школу, которую окончил в 1931-м. В том же году умерла мать. Заботы по обеспечению семьи легли на плечи пятнадцатилетнего юноши и его старшего брата. Кацманы перебрались в Первомайск Одесской области – там Абрам устроился счетоводом в промартель «Молодняк». Работу совмещал с учебой в вечерней средней школе.
В 1937-м Абрам Давидович поступил на физико-математический факультет Одесского государственного университета – одного из авторитетнейших в то время вузов страны.
А в конце июля 1941-го новоиспеченный выпускник физмата получил повестку в военкомат. Воевал на Закавказском, а позднее на Степном фронте в составе 32-й танковой бригады Пятой Гвардейской танковой армии сначала башенным стрелком, затем командиром боевой машины. Северный Кавказ, Курская дуга – беспрерывные, порой позиционные, порой наступательные бои. В 1943-м под деревней Козырево-Тамаровка танк младшего лейтенанта Кацмана был подбит, а сам он тяжело ранен в голову – и до января 1944-го лечился в челябинском госпитале.
Вернуться в строй уже не смог, да и война подходила к концу. Молодой офицер, демобилизованный по состоянию здоровья, получил назначение на должность преподавателя кафедры высшей математики совсем еще молодого, образованного в 1943 году, Челябинского механико-машиностроительного института. На кафедре в то время было всего четыре сотрудника во главе с бывшим кадровым морским офицером, доцентом В.Е. Воскобойниковым.
Вчерашний фронтовик, командир, привыкший требовательно относиться к себе и другим, увлеченно взялся за работу. Организационные проблемы становления молодого коллектива, напряженная преподавательская деятельность, отсутствие среды единомышленников не располагали к научным изысканиям. Тем не менее, Абрам Давидович сразу по окончании войны приступил к самостоятельным исследованиям в области алгебры. Результатом активной научной работы под руководством известного свердловского математика П.Г. Конторовича стала успешная защита в 1955 году кандидатской диссертации. Год спустя Кацману присвоили ученое звание доцента.
Страна ударными темпами восстанавливалась после войны, и так же быстро рос институт, в 1951-м ставший Челябинским политехническим. Появлялись новые факультеты и специальности. Развивалась и кафедра высшей математики. В связи с ростом численности сотрудников и расширением сферы их преподавательской деятельности, общеинститутскую кафедру высшей математики в 1963 году разделили на кафедру высшей математики № 1 и кафедру высшей математики № 2. Первую из них возглавил А.Д. Кацман. Организационно кафедра входила в структуру энергетического факультета – на то время одного из самых «математикоемких» в институте. На этом факультете Абрам Давидович проработал всю жизнь.
А.Д. Кацман с негодованием отвергал бывшую в ходу в те времена сентенцию «Математики этот преподаватель не знает, зато он прекрасный методист». Он хорошо понимал, что только активная научная деятельность сотрудников кафедры, их математический потенциал могут обеспечить качественное преподавание математики студентам. Эффективным и естественным путем решения поставленной задачи, наряду с побуждением к занятиям наукой уже входивших в штат кафедры преподавателей, было привлечение молодых выпускников Московского, Казанского, Новосибирского, Уральского, Ленинградского, Харьковского, Одесского и других ведущих университетов страны.
Эта работа потребовала значительных усилий – но дала превосходные результаты. За сравнительно небольшой срок кафедра пополнилась высококвалифицированными кадрами. Именно Кацман, формируя преподавательский коллектив кафедры № 1, в немалой степени задал вектор развития сообщества челябинских математиков, в результате которого оно обрело свой нынешний облик.
Не меньшее, а может быть, даже большее значение Абрам Давидович придавал педагогической деятельности. Требования к математической подготовке инженера-энергетика диктовались не только потребностями специальности, но и квалификацией, профессиональной ответственностью ученых, определявших лицо факультета. Абрам Давидович предложил энергофаку продуманную и взвешенную программу общего курса математики и дополняющую ее систему специальных курсов. Он еще в 1960-е предвосхитил и внедрил в реальный учебный процесс то, что впоследствии стали называть «системой непрерывной математической подготовки специалиста».
Абрам Давидович был в первую очередь математиком и педагогом, его авторитет основывался на глубоких знаниях, эрудиции и богатейшем опыте, а не на административном ресурсе. Покинув пост заведующего кафедрой в середине 1970-х, он продолжал много и плодотворно работать, по-прежнему определяя направления методической и педагогической деятельности математиков института. Везде, где ему приходилось трудиться – и на кафедре прикладной математики, и на кафедре высшей математики № 2 – авторитет его был непререкаем.
Фронтовик, кавалер девяти правительственных наград, ученый-алгебраист, прирожденный педагог, он до последних своих дней жил и работал в полную силу. Однако годы и участившиеся болезни брали свое. В марте 1989 года, после длительного курса лечения и двух тяжелейших операций, Абрам Давидович ушел из жизни.
Для многих знавших его – и коллег, и студентов – Абрам Давидович Кацман был и остался одним из достойнейших людей, которых они встречали в жизни. «Неслучайно в ответ на вопрос анкеты, разосланной институтом своим выпускникам, “Лекции каких преподавателей оказали наибольшее влияние на вашу инженерную деятельность?”, многие инженеры, выпускники энергетического факультета, ответили: “Лекции А.Д. Кацмана”», – отмечала в свое время в статье, посвященной 50-летию Абрама Давидовича, институтская газета «Политехнические кадры».
Он был талантлив во всем – и как математик, и как руководитель, и как педагог, и, самое главное, – как человек. И использовал свой талант не напоказ миру, а на пользу делу.