Космос обстреливает Землю потоком метеоритов. По теории вероятностей они должны падать на неё под любыми углами. Мы допускаем случайность входа Тунгусского метеорита под острым углом. Через 105 лет на Землю упал второй большой метеорит, и опять под острым углом... С чего бы это?
Попытаюсь ответить на этот вопрос в духе Якова Исидоровича Перельмана с его «Занимательными...» механикой, физикой, астрономией. Поэтому не пугайтесь формул – они простые.
По закону всемирного тяготения Ньютона два тела с массами M и m на расстоянии R притягиваются друг к другу с силой F:
F = g·M·m/R2 (1).
Здесь g – гравитационная постоянная, о которой для решения задачи достаточно знать, что она – постоянная. Земля притягивает спутник или метеорит с такой же силой, с какой спутник притягивает Землю. M – масса Земли, а m – масса падающего на неё метеорита. Мы сформулировали третий закон классической механики Ньютона.
Сила притяжения F направлена по линии расстояния R между двумя центрами масс на рисунке 1. Поэтому притяжение огромной Земли можно упростить до притяжения её центра. Если что-то характеризуется величиной и направлением, то это – вектор. Иначе – скаляр. В нашем случае F – вектор, M – скаляр. Под действием силы F любое тело массой m по второму закону Ньютона начинает двигаться с ускорением am:
am = F/m≈Δv/Δt (2).
При равноускоренном движении ускорение c нулевой скорости до значения v за время t – ускорение a = v/t. Сложную траекторию движения можно разбить на маленькие участки с равным ускорением на них со скорости v0 до v1 за время от t0 до t1. Можно рассчитать приращения значений на каждом участке Δv = v1 – v0, Δt = t1 –t0, тогда получится правая часть формулы (2). Можно дальше говорить о предельных переходах, когда величина этих участков будет уменьшаться до нуля, о производных функций. Но сейчас для ответа на вопрос заголовка обойдёмся без высшей математики.
Подставим формулу для силы (1) в формулу для ускорения (2), сократим массу m и получим замечательную формулу для ускорения метеорита массой m в поле силы тяжести Земли с массой M:
am = g·M/R2 (3).
Получилось, что ускорение (говорят: ускорение свободного падения) тела определяется только массой притягивающего тела (Земли), а не падающего метеорита. Галилей сделал это величайшее открытие, бросая тяжёлые и лёгкие предметы с Пизанской башни. До этого люди были уверены, что лёгкие предметы падают медленнее тяжёлых, потому что все видели медленное падение пушинки. Чего не учитывали люди до Галилея?
Ускорение am является вектором, оно направлено, как и сила F, по прямой линии R на рисунке 1. При перемещении метеорита меняется величина и направление силы его притяжения и ускорения. Это очень сложно учесть в расчётах. Поэтому на рисунке 1 вектор am представляют в виде суммы двух ортогональных (перпендикулярных) векторных составляющих (проекций на оси) amx и amy по выбранным перпендикулярным осям x и y. Эти три величины связаны между собой формулой прямоугольного треугольника Пифагора am2 = amx2 + amy2, или формулой ортогонального баланса.
По выбранным осям x и y на ортогональные составляющие разлагаются векторы скорости v и положения метеорита R (рис. 1). Составляющие также связаны формулами ортогонального баланса v2 = vx2 + vy2, R2 = X2 + Y2. Формулы для положения метеорита упростились, потому что начало координат мы совместили с центром Земли на рисунке 1. Иначе пришлось бы вводить координаты этого центра (X0, Y0), координаты метеорита в новых осях (X1, Y1), а в формулах были бы разности координат X = X1 – X0, Y = Y1 –Y0.
В книгах Перельмана рассмотрены примеры движения точки (метеорита) в равномерном поле тяготения плоской Земли. Показано, что точка участвует в двух независимых движениях: параллельно Земле (равномерно – с нулевым ускорением) и перпендикулярно Земле (равноускоренно – с постоянным ускорением 9.8 м/с2). При этом брошенный куда угодно камень летит по параболе. Когда с горы бросают камни, они падают на Землю уже не по параболе. Чем сильнее бросим камень, тем дальше он полетит. Но Земля-то – круглая! Начиная с некоторой скорости камень промахнётся мимо Земли и будет падать на неё вечно. Так красиво можно объяснить полёт спутника Земли (рис. 1б).
Независимость движений по перпендикулярным осям x и y позволяет нам рассчитывать эти движения независимо друг от друга. Силовые поля, обладающие такими свойствами, называются потенциальными. Сейчас же важно только то, что движения по осям x и y можно рассчитывать независимо.
Ещё нужно допущение, что распределённая масса Земли M притягивает метеорит, как сосредоточенная в центре (точке) вся масса M. Оно справедливо как для случая одинаковой плотности вещества Земли по её объему, так и при одинаковых плотностях внутри каждой симметричной относительно центра (концентрической) сферы. Внутри полой сферы сила тяжести равна нулю в любой точке. Теперь построения на рисунке 1 верны.
Значения ускорений amx, amy по осям находим из формулы (3)умножением её на синус Y/R и косинус X/R угла, который, к счастью, можно не показывать и не находить. Формулы для этих ускорений приведены в программе:
Цикл: am = g·M/R2; закон всемирного тяготения (1).
R = √(R2); расстояние до метеорита от центра.
amx = am·X/R; составляющая ускорения по оси x.
amy = am·Y/R; составляющая ускорения по оси y.
vx = vx + amx·Δt; новые значения проекций скоростей.
vy = vy + amy·Δt;
X = X + vx·Δt; новые значения координат метеорита.
Y = Y + vy·Δt;
t = t + Δt; новое время после шага.
R2 = X2 + Y2; новое значение квадрата расстояния.
Вывод на экран очередного положения метеорита;
goto Цикл; повторить цикл решения.
Перепишем приближенную часть формулы (2) для проекций на оси x и y, найдём приблизительное изменение (приращение) скорости за время (шаг) Δt: Δvx =amx·Δt. В программе суммируем приращения, получаем новые значения проекций скоростей. Аналогично поступаем с координатами X и Y и с самим временем t. Программа зациклена, она будет работать вечно, как и метеорит – вечно летать.
В программе реализован метод решения системы дифференциальных уравнений Эйлера – самый простой, но неточный.
Осталось реализовать эту программу на компьютере. Для этого нужен любой язык программирования. Программа нарисует на экране красивую кривую движения одного метеорита – эллипс или гиперболу.
Добавьте операции выхода из программы, остановки решения при приближении метеорита к поверхности Земли, как на рисунке 1. После этого изучите индексированные переменные и выведите на экран одновременное движение множества метеоритов. На рисунке 2 показано приближение к Земле потока метеоритов до их вхождения в атмосферу.
С этого момента начинается анализ полученного решения и, собственно, ответ на вопрос заголовка. Поле Земли притягивает гораздо больше метеоритов, чем упало бы на неё без сил тяготения. Притянутые метеориты входят в атмосферу Земли под острым углом. Мы видим, что таких метеоритов гораздо больше, чем входящих под крутым. Значит, вероятнее всего, метеориты будут падать на Землю под острым углом. Вот мы и получили ответ на поставленный вопрос!
Что мы недоучли в нашем простом решении?
Мы живем в трехмерном пространстве, значит, нужна ещё одна перпендикулярная ось z, уходящая в представленные рисунки или экран монитора. Программой мы решили плоскую (двумерную) модель объёмной (трёхмерной) задачи. Здесь мы столкнулись с приятным случаем, когда решения трёхмерной задачи не изменят качественно полученное решение. Трёхмерное решение получается добавлением в программу трех аналогичных уравнений для amz, vz и Z. Если на рисунке 2 видно, что метеоритов, падающих под острым углом, в 4 раза больше падающих под крутым, то в случае объёмного решения задачи это число возрастёт до 16. Так что наше объяснение только подкрепляется.
Земля вращается. Вращение изменит углы входа метеоритов в атмосферу в сравнении с рисунком 2. Проанализируйте результаты такого уточнения. Мне кажется, что увеличится вероятность вхождения метеорита в атмосферу на одной стороне Земли под совсем острым (как у самолёта) углом.
Наконец, атмосфера давит на вошедший в неё метеорит. Вспомните, как по поверхности воды скользили брошенные под острым углом камни. Это уточнение ещё повышает вероятность полета метеорита под углом, как у самолёта.
На вопрос заголовка я ответил. Если вы смогли сами подтвердить рисунок 2 своей программой в компьютере, то уже легко найдёте много других интересных решений. Для этого надо учесть в программе массы всех точек. Тогда мы получим на экране удивительные процессы нашего Космоса в ускоренном времени. Вы почувствуете себя едва ли не богом, создателем нового мира, а это приятно. Гораздо приятнее готовых стрелялок современных компьютерных игр. Это ещё и развивает человека.